определение основных видов процентных ставок, связанных с накопительной моделью в схеме сложных процентов

Введение
Важнейшей особенностью банковский сделок является наличие фиксированного срока. Классическим примером таких сделок является срочный вклад в банке. Однако на кредитном рынке весьма часто встречаются контракты, в которых срок заранее не фиксируется. Примером таких контрактов являются так называемые накопительные или сберегательные счета. Они относятся к более широкому классу вкладов или депозитов до востребования, и, следовательно, не имеют определенного срока. Таким образом, вкладчик может изъять весь вклад или его часть в любое время. За эту возможность (или, как говорят, опцион) вкладчик платит снижением процентной ставки по сравнению со срочным депозитом, т.е. вкладом на определенный срок.
Цель курсовой работы – рассмотрение накопительных моделей по сложным процентам. В связи с поставленной целью необходимо решить ряд задач:
1. Изучить понятие накопительной модели.
2. Изучить параметры процентных ставок.
3. Привести задачи в качестве примеров. 
Глава 1. Схема сложных процентов

В этой схеме величина процентов за текущий период начисления равна произведению величины счета в начале периода на ставку начисления. [1, c.23]
Пусть S0 - начальная сумма, а ih – ставка начисления. Тогда за первый период начисления проценты составят
J1 = S0ih
и величина счета увеличится до
S1 = S0 + J1 = S0 + S0 ih = S0(1+ ih).
Проценты за второй период составят
J2 = S1ih = S0(1+ ih)ih,
а сумма вклада увеличится до
S2 = S1 + J2 = S0(1+ih) + S0(1+ ih)ih = S1(1+ ih) = S0(1+ ih)2.
Для любого года можно получить аналогичные соотношения. Так, если величина вклада в конце k -го года равна Sk , то проценты за (k +1) -ый год будут равны
Jk+1=Skih,
а сумма вклада в конце (k+1) -го года станет равной
Sk+1 = Sk+Jk+1 = Sk(1+ ih).
Таким образом, за каждый год величина вклада увеличивается в 1+ih раз. Следовательно, начальный вклад S0 к концу n-го года станет равным
Sn = S0(1+ ih)n. (7)
Величина Sn называется накопленным или будущим значением исходной суммы S0. Множитель
ah = 1 + ih
называется коэффициентом роста за период начисления, а множитель
(1+ih)n = ahn
- коэффициентом (множителем) роста за n периодов начисления по сложным процентам.
Уравнения
Jk+1 = Sk ih,
Sk+1 = Sk+Jk+1,
полученные выше, вместе с начальными условиями полностью описывают динамику накопления в схеме сложных процентов.
Формально величина определяется как прирост начальной суммы вклада за n лет:
In = Sn - S0 = S0(1+ ih)n - S0 = S0[(1+ ih)n-1]. (8)
Проценты за любой период [k,n] :
I[k,n] = Sn-Sk, (9)
[3, c.86]
За год формула (7) перепишется как
S(tn) = S0 . (10)



 
Глава 2. Расширение модели практического счета

Как уже отмечалось выше, формулы (5)-(10) определены лишь для точек начисления tn= t0+nh. Учитывая этот факт, описанную в предыдущем параграфе модель будем называть дискретной. [2, c.75]
2.1. Кусочно-постоянная модель
Изменение состояния счета происходит только в моменты начисления процентов, проценты в промежутках между ними не накапливаются. Используя понятие целой части числа уравнение динамики этой модели для любых t запишется в виде:
• Схема простых процентов
St = P(1 + ih[(t-t0)/h]) (11а)
• Схема сложных процентов
St = P(1 + ih) (11б)
где [x] – целая часть числа x.
2.2. Непрерывная модель

Наиболее часто употребляемый на практике способ доопределения St состоит просто в "аналитическом продолжении" формул (5) и (7) на произвольные значения t :
• Схема простых процентов
St = P(1 + ih(t-t0)/h) (12а)
• Схема сложных процентов
St = P(1 + ih) (12б)
Получаемая модель называется непрерывной моделью накопительного счета с периодом начисления h.
2.3. Смешанная модель

Третий способ состоит в комбинировании схем простых и сложных процентов.
St = P(1 + ih{(t-t0)/h})(1 + ih) (13)
Здесь [x] – целая,{x} – дробная части числа x.

2.4. Номинальная и эффективная процентные ставки

Как мы видели выше при расчете накопленных или текущих значений денежных сумм необходимо указание процентной ставки. Эта величина является функцией промежутка в том смысле, что ее численное значение относится к вполне определенному периоду времени. Этот промежуток может быть реально связан с условиями финансового контракта, например, совпадать со сроком его действия, либо представлять собой какой - либо условно выбранный промежуток. Поскольку различие, связанное с выбором промежутка времени для задания или оценки процентной ставки весьма существенно, то рассмотрим этот вопрос подробнее. [4, c.65]
Понятие процентной ставкой за период T сделки:
.
Ставку rT называют также фактической ставкой за период T.
Однако на практике чаще всего используется не фактическая процентная ставка rT, относящаяся к периоду T, а приведенная к базовому периоду нормированная процентная ставка:

Обычно это базовый период временной шкалы, в которой задаются сроки сделок. На практике, как правило, год. Ставка, относящаяся к базовому промежутку, называется номинальной. Зная эту ставку и срок кредита, можно по определенному правилу вычислить фактическую ставку за период. Стандартное правило выражается формулой
rT = i·T
Здесь i - номинальная, например, годовая ставка.
Вернемся теперь к схеме сложных процентов. Общая формула для накопленных сумм будет иметь вид
Sn = S0(1 + ih)n, (14)
где n - число полных периодов накопления от начального t0 до конечного tn моментов.
Если все величины t0, h, t измеряются в одной временной шкале, то динамика счета в непрерывной модели накопления выражается формулой (15)
= , t > t0 (15)
для любого t.
На формулы (14), (15) можно взглянуть с несколько иной точки зрения. Если в этих формулах положить t =1, t0 = 0 , то получим
S1 = ,
или
S1 = ,
Заметим, что эти формулы связывают суммы в начале (S0) и в конце (S1) года. Тогда величина

есть фактическая или эффективная годовая ставка. Таким образом, получаем
-1. (16)
Этот результат можно получить прямыми рассуждениями. В самом деле, если проценты начисляются m раз в год по номинальной ставке i(m) , то за один период начисления процентная ставка будет
i1/ m =
а множитель наращения за этот период -
1+ i1/ m = 1 +
и поскольку таких периодов в году точно m , то сумма на начало года увеличится к концу года в